El domingo 14 de abril de 1935 una nube oscura de polvo cubrió los cielos de buena parte del centro de Estados Unidos. Aún lo recuerdan como el “domingo negro”. En medio de la gran depresión, y debido al pobre manejo del suelo y la sequía, grandes tormentas de polvo oscurecían la mañana de las grandes llanuras, transformándolo todo en un amasijo homogéneo e inhóspito.
A la misma hora, al este, en Bryn Mawr, un pequeño pueblo de Pensilvania, una de las mentes más brillantes del siglo XX estaba a punto de desaparecer. Tres días antes había sido operada de un tumor cervical, y ahora una complicación posoperatoria la estaba matando. Pocos recuerdan lo más negro de ese negro domingo: la muerte de Emmy Noether, una alemana que iluminó la matemática y la física, que hizo a estas dos disciplinas darse la mano al establecer el teorema matemático que más frutos ha entregado a la física. Un teorema hermoso, profundo, que conectó dos cosas aparentemente inconexas: la simetría de los sistemas físicos con su comportamiento dinámico.
La simetría, a grandes rasgos, es la propiedad de algo de verse igual desde distintas perspectivas. Una vaso cilíndrico, por ejemplo, puede ser girado en torno a su “eje de simetría”, es decir, alrededor de la línea que pasa por su centro, sin que percibamos un cambio. Un cuadrado, por otra parte, puede ser girado en ángulo recto en torno a su centro y obtendremos idéntica figura. Nosotros mismos tenemos una simetría aproximada derecha-izquierda, de modo que la persona que vemos cuando nos miramos al espejo no resulta muy distinta de cómo nos vemos en realidad. Este tipo de simetría es típica también en la arquitectura, en palacios tales como el Taj Mahal o La Moneda. Otro ejemplo es un piso infinito de baldosas cuadradas idénticas. Si saltamos de un punto de una baldosa al mismo punto de otra baldosa, quedamos en una situación idéntica.
Se suele asociar la simetría a la belleza. Pero esto no es siempre acertado. Un objeto poco simétrico se ve desordenado, desequilibrado. Si tiene mucha simetría, sin embargo, comienza a verse soso, repetitivo. La simetría, como el cilantro, es buena, pero no tanto. De hecho, cerca del Big Bang, hace más de trece mil millones de años, era el momento en que el universo mostraba más simetría en toda su historia. Una sopa oscura, caliente, y homogénea. Como el paisaje de las grandes llanuras ese domingo negro que despidió a Emmy.
Simetría y matemáticas
En la Universidad de Gotinga, Emmy Noether conocería a Hermann Weyl, uno de los matemáticos más influyentes del siglo XX. Weyl fue uno de los pioneros en el estudio de la simetría aplicada a la física. Formuló una de sus definiciones matemáticas más sencillas: un sistema cualquiera tiene una simetría si podemos hacer una operación sobre él, de modo que su estado final sea idéntico al inicial. Mientras más operaciones distintas podamos hacer, más simétrico será el objeto.
Veamos algunos ejemplos. Comencemos con el caso de la simetría derecha-izquierda o de “reflexión”. La operación precisa es dividir el objeto en torno a un plano de simetría (un plano que, en el caso de nuestro cuerpo, nos atraviese justo por la mitad) e intercambiar un lado con el otro. En el caso del cuadrado, hay infinitas operaciones de simetría: podemos rotarlo en torno a su centro cualquier número de veces y en cualquier sentido en 90 grados. Matemáticamente, decimos que podemos rotarlo un número entero de veces 90 grados. En el caso del vaso cilíndrico, también hay infinitas simetrías. Podemos rotarlo en cualquier ángulo respecto de su eje de simetría y el vaso queda idéntico sobre la mesa (siempre que sea perfectamente liso y limpio).
“La señora Noether fue el más significativo de los genios matemáticos creativos que hasta ahora se ha producido desde que se estableció la educación superior para mujeres”, dijo Albert Einstein, uno de sus mayores admiradores, en su funeral, en 1935.
En física, las simetrías importantes son las de sus leyes. Por ejemplo, las leyes de la mecánica son las mismas en cualquier parte. Podemos construir un edificio en Antofagasta o Puerto Varas utilizando las mismas Leyes de Newton. La operación aquí se llama “traslación”. La simetría también puede definirse en el tiempo. Un motivo repetitivo de percusión, por ejemplo, puede escucharse partiendo en cualquiera de sus repeticiones sin que lo notemos. En física, las leyes resultan ser simétricas ante traslaciones temporales: no importa si comenzamos a construir el edificio hoy o en dos años, utilizaremos las mismas leyes.
En 1918, Emmy Noether publica su artículo “Problemas de variación invariantes”, en donde formula su gran teorema, en el que plantea más o menos esto: por cada simetría de un conjunto de leyes físicas, existe una magnitud que se conserva. El ejemplo más importante es el de la conservación de la energía. Ésta es consecuencia de la simetría bajo traslaciones temporales a la que nos referíamos recién. Para graficarla tomaré prestado un ejemplo del libro La simetría y la belleza del universo de León Lederman y Christopher Hill. Suponga que la constante de gravitación universal disminuyera un 10% todos los martes al mediodía por un lapso de una hora. Si así fuera, entonces los dueños de grandes represas podrían aprovechar esa hora para bombear agua y llenarlas con un gasto de energía menor a la ganancia que obtendrían al dejar caer esa agua una hora después. Obtendrían energía gratis, cosa que contradice el principio de conservación de energía. Y claro, en un universo en donde la constante de gravitación universal varía, no puede conservarse la energía, pues de acuerdo al teorema de Noether la energía se conserva sólo si las leyes de la física se mantienen constantes en el tiempo.
Unos más iguales que los otros
La obsesión de Noether por la simetría contrastaba con el trato poco “simétrico” que recibió en su vida. Primero sufrió la discriminación de la academia alemana de principios del siglo pasado a las mujeres. Así por ejemplo, mientras estudiaba en la Universidad de Erlangen, se dictó una norma que prohibía a este sexo ser parte del alumnado regular. Capeó el temporal mudándose por unos años a Gotinga, en donde conoció a los más grandes matemáticos de la época. Emmy navegaba sin quejas, capeando todos los temporales que provocaba una academia dominada por hombres. Una vez que logró graduarse, trabajo por años sin recibir remuneración alguna en Gotinga. Sólo la fama que le otorgó su fructífera carrera la permitió abrirse paso, con la simetría de trato que merecía. El ser mujer dejó de ser un problema poco a poco, hasta que otra asimetría golpeó Europa: Noether era judía, razón por la que en 1933 fue expulsada de la universidad, según las nuevas normas raciales de Hitler. A esas alturas, su prestigio internacional le permitió encontrar la forma de capear este gran temporal y refugiarse en Estados Unidos.
Noether fue reclutada por el College de mujeres de Bryn Mawr. Pero una muerte demasiado temprana terminó con su existencia menos de tres años después de su llegada a Pensilvania. La muerte le daría esa simetría que en vida jamás consiguió.
Hermann Weyl fue uno de los oradores en el entierro de Emmy Noether. Él también tuvo que emigrar a EE.UU. en 1933, pues su esposa de la época era judía. Su discurso fue estremecedor y mostraba la admiración y amistad profunda que los unía. “Eras una gran matemática. No tengo reserva en decir que la más grande que la historia haya conocido”, dijo entonces.
Emmy en conserva
El legado de Noether a la física es incalculable. Hoy la simetría es el eje central de cualquier teoría fundamental. La simetría da cuenta de muchas de sus propiedades, ya que al dictar sus cantidades conservadas, restringe sus posibilidades dinámicas. Y las simetrías que observamos en el mundo microscópico son abrumadoras. Unas que, a través del teorema de Noether, dan cuenta de las magnitudes conservadas que observamos en la naturaleza, como la carga eléctrica y sus generalizaciones más sofisticadas que no vale la pena detallar aquí. El teorema de Noether pudo además resolver algunos de los misterios más profundos de la Relatividad General de Einstein, uno de sus más grandes admiradores, y otro de los elegidos para homenajearla en su funeral. “La señora Noether fue el más significativo de los genios matemáticos creativos que hasta ahora se ha producido desde que se estableció la educación superior para mujeres”, dijo Einstein en esa oportunidad.
Quizás no sea exagerado pensar en Emmy Noether como una de las más importantes expresiones de libertad, creatividad, y tesón que haya conocido el siglo XX. Ella tomó las pequeñas oportunidades que le ofrecía el universo. Tomó las migajas, los caminos más largos y difíciles. Y sin quejarse, siempre con una sonrisa frente a sus estudiantes y amigos, transformó la discriminación, el horror y la muerte en una de las obras más dulces y profundas de la historia intelectual humana.