¿Es la Tierra redonda? Parece una pregunta absurda cuando disponemos hoy de imágenes de nuestro planeta tomadas desde el espacio. La más célebre y popular es la “canica azul” que obtuviera la misión Apolo 17. Antes de eso, la visión exterior del planeta no era una imagen instalada en nuestra conciencia colectiva.

No resulta tan evidente la redondez de nuestro planeta. La Tierra parece plana para un observador casual. Si contemplamos la superficie de un lago o de un campo de frutillas, nada nos impele a pensar en un planeta redondo.

No es fácil descubrir la curvatura de la superficie terrestre. Es necesario hacer experimentos cuidadosos y seguir líneas argumentales de cierta sofisticación. La razón última es que somos pequeños comparados con el radio de la Tierra y hasta hace no mucho estábamos condenados a arrastrarnos sobre su superficie.

Plano y Curvo

Un espacio plano es, por ejemplo, una hoja de papel. Un lugar atiborrado de bellas propiedades. Podemos dibujar en ella rectas paralelas que jamás se intersecarán. En general, la hoja plana nos permite utilizar toda la geometría de Euclides que aprendimos de niños y que nos dice que los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180 grados o que el teorema de Pitágoras es inexorable. Esto nos permite dotar de coordenadas cartesianas a la hoja, transformándola en la página cuadriculada de un cuaderno de matemáticas. Cada punto que dibujemos será etiquetado por un par de números y la distancia entre puntos podrá ser calculada mediante el teorema de Pitágoras.

La relatividad general establece que el contenido energético de los cuerpos es responsable de curvar el espacio-tiempo. Esta curvatura es la que hace a otros cuerpos recorrer trayectorias que aparentemente no son rectas.

La curvatura rompe con buena parte de las enseñanzas de Euclides. Para verlo, hagamos el siguiente experimento en la superficie de la Tierra. Suponga que está en el Polo Sur y avanza hacia el norte a lo largo de un meridiano hasta el Ecuador, recorriendo un cuarto de circunferencia. Se puede decir que su trayectoria fue “recta”, en el sentido de que fue la más corta posible entre los puntos de partida y llegada. Imagine que gira allí 90 grados hacia su izquierda y marcha sobre el Ecuador una distancia idéntica hacia el Oeste. Finalmente, gira otros 90 grados hacia la izquierda y se encamina de vuelta al polo a lo largo de un meridiano. Habrá dibujado en su trayecto un triángulo sobre la superficie terrestre. Con sus tres ángulos rectos y sus tres lados iguales, este inusual triángulo no satisface el teorema de Pitágoras. Y la suma de sus ángulos internos es de 270 grados. ¿Extraño? ¡Claro! Es el precio a pagar por hacer geometría en espacios curvos. Si aún no se convence, intente cuadricular una manzana.

La distinción entre espacios planos y curvos se extiende más allá de las dos dimensiones del ejemplo, pero deberemos renunciar a una representación gráfica. La superficie terrestre, bidimensional, se aparta del plano curvándose en una tercera dimensión. De igual modo, un espacio tridimensional curvo nos obligará a una representación tetradimensional que parece estar fuera del alcance imaginativo del cerebro humano. Pero no de su capacidad de abstracción.

Espacio y tiempo: juntos para siempre

Albert Einstein formuló en 1905 su teoría de la relatividad especial. En ella mostró que el espacio y el tiempo forman parte indisoluble de una entidad única, el espacio-tiempo. Separarlos sería tan absurdo como intentar emancipar los ejes cartesianos de una hoja cuadriculada. El escenario en el que acontecen los fenómenos físicos es tetradimensional, por lo que necesitamos establecer una cuadrícula en cuatro dimensiones. Hay muchas formas de disponer ejes cartesianos en una hoja de papel. Así, las coordenadas de un punto son relativas: dependen de esta elección. La distancia entre dos puntos, sin embargo, es absoluta. Es una combinación de sus coordenadas dada por el teorema de Pitágoras. En el espacio-tiempo de la relatividad especial, las posiciones e instantes temporales dependen del sistema coordenado elegido por el observador. Sólo una combinación de estos, la distancia espaciotemporal, por un análogo del teorema de Pitágoras, es absoluta.

La unificación del espacio y el tiempo realizada por Einstein constituyó un hito de la historia de la ciencia. Pero el lector atento no habrá pasado por alto el hecho de que estamos hablando de un espacio-tiempo plano. ¿Qué ocurre si éste se curva? Einstein necesitó diez años de titánico esfuerzo para ser capaz de formular esta pregunta y brindar una respuesta tan inesperada como precisa: de dicha curvatura, como por arte de magia, nace la fuerza de gravedad.

El jueves 25 de noviembre de 1915 presentó en Berlín las ecuaciones de la relatividad general, revolucionando el paradigma sobre el que reposaba la ley de gravitación universal establecida hacía más de tres siglos por Isaac Newton.

Curvatura y gravedad

Hagamos un nuevo experimento. Albert y Marcel, separados un kilómetro sobre el Ecuador, deciden avanzar hacia el sur a igual velocidad y en línea recta; es decir, cada uno a lo largo de un meridiano. Si aplicaran sus conocimientos de geometría euclídea, ignorantes de estar sobre una superficie curva, dirían que siguen caminos paralelos que jamás se unirán. A medida que avanzan, sin embargo, descubren que se están acercando (ya que los meridianos convergen hacia el Polo Sur).

En caso de que ignoraran el hecho de que la Tierra es curva, los dos amigos podrían hacer interpretaciones tan exóticas como interesantes. Quizás una fuerza misteriosa esté provocando una atracción entre ambos, desviándolos de su camino recto original para acercarlos progresivamente. O quizás rumbo al Sur las cintas métricas se dilatan, haciendo parecer que la distancia entre ellos se reduce. Como veremos luego, estas interpretaciones son equivalentes y simplemente nos indican que la Tierra es curva.

Si imaginamos que la latitud sur en el ejemplo anterior está dada por el tiempo, concluiríamos que a medida que éste transcurre Albert y Marcel se acercan. La curvatura del espacio-tiempo produce, así, el mismo efecto que una fuerza atractiva como la gravedad. Einstein comenzó a vislumbrar esta posibilidad en 1912, cuando su ex compañero de carrera Marcel Grossmann lo convenció de trasladarse a Zúrich. Esta mudanza resultó providencial. Los trabajos de Einstein de principios de ese año en Praga lo muestran confuso y errático. A través de Grossmann pudo conocer el formalismo matemático que permite lidiar con un ente tetradimensional curvo: la geometría de Riemann.

La relatividad general establece que el contenido energético de los cuerpos es responsable de curvar el espacio-tiempo (recordemos que el mismo Einstein mostró, en su más icónica fórmula, que la masa era energía). Esta curvatura es la que hace a otros cuerpos recorrer trayectorias que aparentemente no son rectas. Pero en estricto sentido lo son: en el espacio-tiempo curvo. Así, por ejemplo, la Luna sigue la trayectoria más corta en la geometría curva generada por la Tierra. Su extrañeza aparente es análoga a la de Albert y Marcel mientras se acercaban al Polo Sur. No hay fuerza de atracción entre ellos. Lo que hay es curvatura.

Principio de equivalencia

Vemos flotar a los astronautas de la Estación Espacial Internacional en sus níveos trajes. ¿Por qué parecen despojados de la tiranía gravitacional terrestre? Muchos se apresurarán a responder que esta fuerza es despreciable a la distancia de la Tierra a la que se encuentran. ¡Falso! De hecho, están en órbita a unos 400km de la superficie terrestre, donde la fuerza de gravedad disminuye apenas un 10% respecto de la que sentimos quienes vivimos aferrados al suelo.

No hay manera de distinguir, haciendo experimentos en su interior, entre un ascensor cayendo y otro dispuesto en el espacio interestelar. De igual modo, en ambos ascensores sentiremos una fuerza hacia abajo que podemos interpretar como gravedad.

Lo que experimentan los astronautas es similar a lo que vivirían en un ascensor que cae al vacío. Es el hecho observado por Galileo de que todos los objetos, en ausencia del roce con el aire, caen de igual modo, independiente de su peso. La Estación Espacial Internacional orbita la Tierra. Su trayectoria no es más que una continua caída, una línea recta en el espacio-tiempo. Todos los objetos en ella se mueven de modo idéntico, incluidos los astronautas. Esto produce la ilusión de que la gravedad ha desaparecido. Einstein se dio cuenta de ello en 1907, cuando aún trabajaba en Berna: “Una persona que cayera del tejado no observaría la existencia de un campo gravitatorio; no sentiría su propio peso. Si junto a ella cayera una manzana, la vería quieta a su lado”.

El principio de equivalencia, tal fue el nombre que le puso, fue el punto de partida de las reflexiones que Einstein dedicó a la fuerza de gravedad y que gestaron la teoría de la relatividad general. No hay manera de distinguir, haciendo experimentos en su interior, entre un ascensor cayendo y otro dispuesto en el espacio interestelar. De igual modo, tanto en un ascensor en reposo sobre la Tierra como en otro que experimente la aceleración gravitacional terrestre en el espacio exterior, sentiremos una fuerza hacia abajo que podemos interpretar como gravedad.

El tiempo curvo recobrado

Albert y Marcel están ahora en una nave en el espacio interestelar en ausencia de gravedad; Albert en la proa y Marcel en la popa, ambos provistos de relojes idénticos debidamente sincronizados. Albert enciende y apaga una lámpara cada vez que su segundero hace clic y Marcel recibe el pulso de luz comprobando que su reloj mantiene el mismo ritmo.

Albert enciende los motores, propulsando la nave con la aceleración gravitacional terrestre, y ahora ocurre algo extraño. Cada vez que Albert enciende la luz, la aceleración de Marcel hacia el haz hace que el tiempo de llegada disminuya. Después de todo, el mismo Einstein mostró en 1905 que la velocidad de la luz era la misma para cualquier observador y la distancia que debe recorrer el haz en la nave acelerada es menor. Marcel, por lo tanto, percibe que el ritmo del reloj de Albert ha aumentado.

Pero el principio de equivalencia nos dice que lo mismo debe ocurrir si la nave esta posada verticalmente sobre la Tierra. ¡Los relojes que están más arriba deben apurar su ritmo! Por ello, los relojes atómicos de los satélites del sistema GPS se adelantan respecto a los de la Tierra. Parece tan descabellado y sobrenatural como la interpretación de Albert y Marcel sobre las cintas métricas que se dilataban hacia el Sur. Einstein se dio cuenta de esta analogía y descubrió que de algún modo la gravedad curvaba el tiempo. Durante años se traicionó a sí mismo pensando sólo en este efecto, pero acabó siendo fiel a su propia idea de que tiempo y espacio son inseparables, por lo que la gravedad debía ser una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo.

Un milagro tuvo lugar en Berlín, cada jueves de noviembre de 1915. En medio de la agitación de la Primera Guerra Mundial, Albert Einstein compareció semanalmente para comunicar sus sobrehumanos avances en la comprensión de la fuerza que gobierna desde el sistema solar hasta el propio universo en su totalidad. El último de esos jueves presentó las ecuaciones de la teoría de la relatividad general, la obra cumbre de la historia del pensamiento.