Transcurre el minuto 23 del primer tiempo cuando Juan Antonio Pizzi se dirige a su ayudante de campo y abre los ojos en un claro signo de interrogación. La sonrisa de éste le alcanza para saber que el dominio territorial sobre la selección argentina se sustenta en el rigor inconmovible de la matemática. Sólo resta esperar, piensa esperanzado, a que éste dé sus frutos en los pies de Alexis o Vidal.

El dominio del verde césped

Imagine que en el rectángulo de juego hubiera sólo un jugador por equipo, cada uno de ellos parado sobre su punto de penal. Si definimos su “área de influencia” como aquel sector del terreno que está más cerca suyo que de cualquier otro jugador, compañero o rival, está claro que a cada uno le corresponderá su media cancha. Si uno de ellos avanza en línea recta hacia el otro, que permanece estático, irá conquistando su terreno y la frontera que delimita sus áreas de influencia se desplazará con él. Lo hará a la mitad de la velocidad: cuando el jugador que avanza se encuentre frente a frente con el otro, la frontera estará también allí, y para ello habrá recorrido la mitad de la distancia.
Pero en el fútbol hay algo más que dos jugadores.
Vamos de a poco.
Consideremos un tercer jugador. Sus posiciones definirán los vértices de un triángulo. La recta que corta perpendicularmente el segmento que une a cada par de jugadores, delimita la frontera de sus áreas de influencia relativas. Estas tres rectas se unen en un punto que está en el interior del triángulo. La cancha quedará dividida así en tres sectores, uno por cada jugador. Y así sucesivamente. Cuando estén sobre la cancha los 22 jugadores, el campo de juego quedará dividido en el mismo número de parches; polígonos irregulares que marcan la zona de influencia de cada jugador. Habremos dibujado sobre la cancha de fútbol un diagrama de Voronói.

Sabes demasiado, John Snow

Fue en 1908 cuando el matemático ucraniano Gueorgui Feodósievich Voronói introdujo la partición del plano que lleva su nombre. Y fue ese mismo año el de su muerte prematura. Se trató de un hombre taciturno, embargado en la nostalgia de no poder radicarse en la aldea de Zhuravka, la que lo vio nacer y en la que fue enterrado. Un matemático con grandes contribuciones a la teoría de números que, sin embargo, es hoy más conocido por aquella contribución postrera. Dada una cantidad de puntos dispersos en el plano, observó Voronói, éste se puede dividir en parches, cada uno de los cuales contiene a uno de los puntos y a la región que esta más cerca de él que de cualquier otro. En la cancha de fútbol los puntos son los jugadores y los parches sus “zonas o áreas de influencia”.
A pesar de que Voronói fue quien formalizó y generalizó estas divisiones del plano a tres y más dimensiones, hay antecedentes de su uso desde mucho antes. Kepler y Descartes, por ejemplo, ya los habían utilizado en el siglo XVII. Pero fue en el verano de 1854 cuando estos diagramas irrumpieron gloriosamente en un problema de salud pública, de la mano del médico inglés John Snow. Ese año, un grave brote de cólera se produjo en el Soho de Londres, matando a más de seiscientas personas. Por aquel entonces dominaba la teoría miasmática de las enfermedades, que sostenía que su contagio se daba a través del aire contaminado por ciertos gases tóxicos.

Voronói fue quien formalizó estas divisiones del plano a tres y más dimensiones, aunque hay antecedentes de su uso desde mucho antes. Pero fue en 1854 cuando estos diagramas irrumpieron en un problema de salud pública, de la mano del médico inglés John Snow.

Snow había acumulado evidencias de que el cólera se contagiaba a través del agua contaminada por heces fecales, y en este brote de la enfermedad pudo hacer su observación más determinante. Hizo un mapa que mostraba los distintos pozos de agua de Londres y una división de la ciudad en lo que hoy llamaríamos sus regiones de Voronói. Llegó así a la certeza de que la mayoría de las víctimas residían más cerca de un pozo en particular que de cualquier otro: aquél de Broad Street. A doscientos metros de allí vivía Karl Marx, quien ya había experimentado una epidemia de cólera en París y sabía que no debía exponerse. Por ello suspendió su prolífica correspondencia con Friedrich Engels hasta que pasara la epidemia. Las autoridades procedieron a quitar la palanca de la bomba del pozo de Broad Street, lo que detuvo la propagación de la enfermedad. La geometría y la estadística salvaron vidas gracias al ingenio de Snow, quien además inauguraba la disciplina de la epidemiología.

La estrategia de Voronói

Si tuviéramos una imagen del campo de juego conectada a un computador que calculara instantáneamente las zonas de influencia, tendríamos una valiosa información estratégica. Aquello que sirvió a Snow podría resultar providencial para Pizzi. Podrían darse situaciones paradigmáticas. Que un equipo estuviera conjuntado, de modo tal que entre cualquier par de jugadores hubiera un camino que recorriera zonas de influencia propias. Ésta es la situación anhelada por cualquier equipo que se recree en la posesión de la pelota, ya que puede hacerla circular sin mayores riesgos entre sus jugadores. Idealmente, estos toques deberían terminar en un delantero, cuya región de influencia bordeara a la del portero del equipo contrario. El arquetipo de esta forma de jugar es el Barcelona y su delantero de referencia es Luis Suárez.
Un equipo que, por el contrario, no mantenga a sus jugadores en una posición que garantice una continuidad de sus zonas de influencia, se verá en la necesidad de atacar mediante pases largos, de modo de conectar a sus jugadores por sobre una zona de influencia del rival. Su contribución al diagrama de Voronói se verá como un conjunto de islas inconexas. Si esto ocurre en el plano defensivo, la derrota está asegurada. En ataque, en cambio, puede ser una opción estratégica, si un equipo es certero en la ejecución de pelotazos a veloces punteros o de largos centros a la cabeza de un centrodelantero de contextura poderosa.
En la ilustración que acompaña al texto vemos la posición de los jugadores de Chile y Argentina en un momento del partido que jugarán el lunes. Chile está en una posición favorable para el ataque, ya que existen varios caminos desde Bravo (1) hasta Pinilla (9) que pasan sólo a través de zonas de influencia propias, por lo que la pelota puede transitar segura, en pases cortos. Por ejemplo, a través de Medel (17), Aránguiz (20) y Orellana (19), o Isla (4) y Alexis (7). El área de influencia de Pinilla está en contacto con la del portero Romero, lo que le concede obvias posibilidades de gol. Si Argentina ataca, en cambio, se verá obligada a dar al menos un pase largo antes de alcanzar la portería de Bravo. Por ejemplo, Romero (23) se la da a Mascherano (14), éste a Mercado (4) y Di María (7), y de allí el pase largo a Agüero (11). En general, estos pases largos aumentan la probabilidad de perder el balón. Esto, claro está, es discutible, ya que podría ser precisamente un asunto de estrategia.

Es de interés generalizar los diagramas de Voronói. La zona de influencia no sería aquella más cercana a un jugador que a cualquier otro, sino aquella región de la cancha a la que, dadas las circunstancias del jugador, éste llegaría antes que cualquier otro.

Otro dato que nos entrega el diagrama de Voronói es el área total de influencia de un equipo. Ésta también es importante ya que, por ejemplo, un pase mal ejecutado o un rebote tendrá mayores probabilidades de caer del lado del equipo con mayor zona de influencia. En la ilustración, también es Chile quien lleva la ventaja en ese sentido.
Desafortunadamente para las pretensiones del equipo chileno, el diagrama de Voronói ilustrado sólo representa la situación en un instante. Segundos después el diagrama podría cambiar drásticamente a favor de Argentina. Mantener a los jugadores parados en posiciones ventajosas es una tarea ardua y es precisamente una de las que un buen entrenador, más por intuición que por análisis matemático, deberá conseguir. La sonrisa de Pizzi, amparada en la larga sombra de Voronói, no puede desatender la obviedad de que Martino está al acecho, listo para cambiar sus piezas y delinear un nuevo diagrama de Voronói sobre el césped perfecto del Levi’s Stadium.

Dura scientia, sed scientia

Como siempre ocurre en los modelos científicos de fenómenos complejos, uno comienza con simplificaciones que dan cuenta del trazo grueso del problema, capturando la esencia y aparcando los detalles. En el caso del partido de fútbol, por ejemplo, hay una sobresimplificación evidente en el análisis. Suponga nuevamente que sólo hay dos jugadores en la cancha y que en cierto instante los dos están frente a frente con el balón justo a mitad de camino. El diagrama de Voronói no puede decirnos mucho, ya que la pelota estará sobre la línea que separa las dos zonas. Ahora bien, hay muchas razones para concluir que, a pesar de esto, un jugador tiene más posibilidades que el otro de hacerse con el balón. Por ejemplo, puede que en ese instante esté corriendo velozmente hacia la pelota mientras el otro está detenido, o caído en el suelo. En esas circunstancias es evidente que el que está corriendo llegará antes. Es de interés, por lo tanto, generalizar los diagramas de Voronói. La zona de influencia no sería aquella más cercana a un jugador que a cualquier otro, sino aquella región de la cancha a la que, dadas las circunstancias del jugador, éste llegaría antes que cualquier otro. Calcular esta variante del diagrama de Voronói es más complejo. Un cálculo preciso requerirá no sólo la velocidad del jugador en ese instante, sino sus características individuales, su postura en ese instante e incluso su estado físico y anímico, cuestiones que hacen muy complejo un cálculo realista.
Pizzi o Martino podrán apoyarse en los pilares geométricos del fútbol, sacar provecho de las elaboraciones abstractas de un gran matemático que vivió hace un siglo, pero el deporte, por fortuna, no es dócil al rigor científico. Están la pasión, la entrega, el coraje, la solidaridad, la osadía, la audacia, el desenfado, el talento... Rasgos humanos que se reparten de manera caprichosa. Está también la moneda al aire que a veces determina si la pelota que rebotó en el poste habrá de entrar o salir. Causas y azares. Humanas pasiones, virtudes y defectos: cosas del fútbol.